数学与应用数学专业“专升本”招生考试

专业课考试大纲

一、专业名称：数学与应用数学

二、专业代码：070101

三、专业方向：师范

四、学制：两年

五、招生人数：40人

六、专业主干课：实变函数，泛函分析，拓扑学，微分几何，近世代数，数学教学论等。

七、专业特点：注重数学的基础理论，开设数学建模、教育学、心理学等课程以培养学生数学的应用能力和教学能力。

八、就业方向：学制两年，毕业授予理学学士学位。 毕业生适合在数学学科及相关领域从事中等数学教育工作，也可在企事业单位从事科研以及管理工作。

九、培养目标：本专业培养德、智、体全面发展，掌握数学基本理论，具有良好数学素质，能够运用数学知识分析和解决若干实际问题的应用人才和具备中等学校数学教学能力的教育工作者。

十、考试目的：通过考试能检验学生对《高等代数》和《数学分析》基础知识的学习情况，以及《高等代数》和《数学分析》基本理论的掌握和知识的应用情况；检验学生能否适应数学与应用专业本科的进一步学习和深造。

十一、考试范围：

高等代数(50%)

1、多项式 2、行列式 3、线性方程组  4、矩  阵  5、二次型 6、线性空间7、线性变换  8、欧几里得空间

数学分析(50%)

1、函数   2、极限  3、 连续函数   4、实数连续性  5、导数与微分  6、微分学基本定理   7、不定积分   8、定积分  9、 级数   10、多元函数微分学   11、隐函数   12、反常积分与含差变量积分   13、重积分    14、曲线积分与曲面积分。

十二、试题难度

  较容易题      约  30%

  中等难度题    约  50%

  较难题        约  20%

十三、试题类型

1、填空题，2、选择题，3、判断题，4、计算题，5、解答题 ，6、证明题。

十四、参考书目：

1.高等代数 （第三版）  北大数学系编       高等教育出版社

2.刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义（第四版）   高等教育出版社,

十五、考试内容：

第一部分:高等代数

第一章 多项式

(1)基本概念：一元多项式，多项式的相等，一元多项式的整除，最大公因式，互素，不可约多项式与可约多项式，重因式，重根，单因式，本原多项式。

(2)基本理论：多项式的整除性质，带余除法理论，最大公因式存在理论及性质，一元多项式因式分解及唯一性理论，重因式的判定理论，多项式函数的根与因式分解理论，代数基本定理，实数域复数域上的多项式可约性，有理数域上多项式的可约性及根的一些性质。

(3)基本计算：最大公因式的确定，一元多项式的因式分解，是否有重根的判定，多项式有理根的确定，是否有有理根的判定。

第二章 行列式

 (l)基本概念：n元排列，n阶行列式的定义，余子式，代数余子式，子式的余子式，子式的代数余子式，偶排列，奇排列，反序数。

(2)基本理论：n阶行列式的性质，行列式按行(列)展开，克菜姆法则。

(3)基本计算：排列的反序数计算，行列式计算，运用克莱姆算法法则确定一些特殊的n元线性方程组的解。

第三章 线性方程组

 (1)基本概念：n维向量，向量的线性相关，向量的线性无关，极大线性无关组。向量组的秩，矩阵的行秩，矩阵的列秩，线性方程组的系数矩阵，增广矩阵，阶梯形矩阵，同解（线性方程组)，齐次线性方程组基础解系，特解，通解，导出方程组。

(2)基本理论：消元法解方程组，向量的线性相关性的判定理论，矩阵的秩及其行秩，列秩之间的关系，极大线性无关组的性质，线性方程组解的结构理论，方程组有解的判定及解的个数确定理论。

(3)基本计算：用消元法求方程组的解，向量组线性相关性的判定，极大无关组的确定及线性表示式的确定，确定一个方程组解的集合(若该方程组有解)，判定一个方程组是否有解，若有解其解的个数确定，求齐次线性方程组的基础解系。

第四章 矩阵

 (1)基本概念：矩阵，矩阵的相等，矩阵的加、减、数乘及矩阵乘法运算，可逆矩阵，矩阵的秩，初等变换，初等矩阵，分块矩阵。

(2)基本理论：可逆矩阵的性质及可逆的判定，初等变换的性质，初等变换与初等矩阵之间的关系。

(3)基本计算：矩阵秩的确定，矩阵的加、减、数乘及乘法运算，可逆矩阵的逆的确定(公式与初等变换法)。

第五章 二次型

 (1)基本概念：二次型，二次型的矩阵，变量的线性替换，满秩线性替换，二次型的标准型，顺序主子式，矩阵合同，矩阵正定，正定二次型。

(2)基本理论：初等变换法化二次型为标准型的理论，惯性定理，正定二次型的判定理论。

(3)基本计算：二次型矩阵的确定，已知一对称矩阵求二次型，配方法和初等变换法化二次型为标准型，二次型正定性的判定。

第六章 线性空间

 (1)基本概念：线性空间，子空间，生成元，子空间的和，子空间的直和，维数，基底，坐标，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，变换，线性变换。

(2)基本理论：线性空间的性质，子空间的判定及性质，直和的判定，基变换与坐标变换理论，线性映射的基本性质。

(3)基本计算：维数的确定，坐标，过渡矩阵，在不同基下的坐标计算。

第七章 线性变换

 (1)基本概念：线性变换，线性变换的运算，线性变换关于取定基下的矩阵，相似矩阵，不变子空间，特征根，特征向量，特征多项式，特征子空间。

(2)基本理论：向量α与其象向量σ(α)关于同一基的坐标理论，在取定基底下线性变换与矩阵之间的关系(同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系)，不变子空间理论，矩阵对角化理论，特征向量的性质。

(3)基本计算：求线性变换在取定基下的矩阵，求一个线性变换(矩阵)的特征根与特征向量，已知向量α (或σ(α))关于某一基的坐标，求σ(α)（或α）关于该基的坐标，将一矩阵对角化(是否能对角化的判定)。

第九章 欧氏空间

 (1)基本概念：向量的内积，欧氏空间，向量的长度，两向量的夹角，两向量的正交，标准正交基，正交矩阵，欧氏空间的同构，子空间正交，正交补，正交变换，对称变换。

(2)基本理论：内积的性质，柯西——布涅可夫斯不等式，施瓦兹不等式，欧氏空间中标准正交基存在理论，两个欧氏空间同构的判定，直和理论，正交变换的性质及判定，对称变换的性质及判定，实对称矩阵的对角化理论。

(3)基本计算：向量的内积计算，求向量的长度，两向量的夹角的计算，将一组向量标准正交化，对实对称矩阵A，求一正交矩阵U、使U-1AU为对角矩阵。

第二部分:数学分析

第一章  函数

实数及其性质、绝对值与不等式；数集、区间与领域、有界集、函数的定义、表示法、四则运算、复合函数、反函数、初等函数；有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数

第二章  极限

数列、数列极限的定义；收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性）、数列极限的四则运算；单调有界收敛定理、Cauchy收敛定理；函数极限 定义、单侧极限；函数极限的性质――唯一性、局部保号性、局部有界性、保不等式性、夹逼性、四则运算法则；函数极限与数列极限的关系--Heine定理、Cauchy收敛原理；无穷小量、无穷小量阶的比较、无穷大量和阶的比较

第三章  连续函数

函数在一点连续、间断点及其分类、区间上的连续函数；连续函数的局部性质、闭区间上的连续函数的基本性质、反函数连续性、一致连续性；反函数的连续性、初等函数的连续性.

第四章  实数的连续性

闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理、有界性定理、最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明.

第五章  导数与微分

导数的定义、导函数、导数的几何意义；用定义求导数、求导的四则运算、反函数求导法则、复合函数求导法则——链式法则、基本求导公式；参数方程所确定函数的导数；高阶导数的定义、运算、Leibniz公式；微分的定义、一阶微分形式的不变性、微分的四则运算、高阶微分的概念、微分在近似计算中的应用.

第六章  微分学基本定理及其应用

Rolle定理、Lagrange中值定理、柯西中值定理；L’Hospital法则、 、型 型、 型、 型、 型、 型、 型的极限；Taylor公式、Maclaurin公式、Taylor公式的应用、近似计算；单调函数、极值、Fermat引理、最值问题；凸函数、二阶导数与凸函数的关系、拐点；函数作图。

第七章  不定积分

原函数、不定积分的定义、不定积分线性性质、不定积分的基本公式、基本积分表；换元积分法—第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法；有理函数的积分、可化为有理函数不定积分；三角函数有理式的不定积分、某些无理函的不定积分.

第八章  定积分

定积分的引入和概念，Riemann和等基本概念；牛顿－莱布尼茨公式；Riemann可积的必要条件、充要条件和一些可积函数类；积分的基本性质—线性性，保序性，区间可加性和积分第一中值定理；变限积分和原函数的存在性、换元积分法和分部积分法；定积分的应用—平面图形的面积、由平行截面面积求体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积、定积分在物理中的某些应用

第九章　级数

数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和Cauchy准则和其它性质，一些简单的级数的敛散性；正项级数的概念，正项级数的收敛原理，比较判别法，比式和根式判别法及其极限形式，积分判别法；交错级数、Leibniz级数及其判别法，条件收敛和绝对收敛概念，条件收敛和绝对收敛的级数具有的性质、Abel变换、Abel判别法、Dirichlet判别法；函数项级数的点态收敛，收敛域，部分和函数，一致收敛、函数项级数一致收敛的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel判别法、Dirichlet判别法；一致收敛级数的连续性、可导性和可积性；幂级数概念，收敛半径和收敛域，求收敛半径，内闭一致收敛、幂级数的连续、可导和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和函数；泰勒级数、函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开；三角级数、正交函数系、周期为2π的函数的Fourier展开；收敛定理；以２L为周期的函数的Fourier级数、将函数展开为正弦级数与余弦级数；Fourier级数的收敛定理

第十章  多元函数微分学

平面点集，内点，外点、边界点，孤立点，聚点，开集、有界集，和闭集及其关系，连通性、闭域、区域，闭矩形套定理， 有限覆盖定理，聚点定理，二元函数、多元函数的定义；二元函数的极限、累次极限；二元函数的连续性的概念，有界闭域上连续函数的性质—有界性、最值定理、一致连续性定理；偏增量和全增量，偏导数，全微分，连续，可微性条件、可偏导，可微之间的关系，混合偏导数的相等，可微性几何意义及应用；多元复合函数的链式法及其应用，一阶全微分的形式不变性；方向导数、梯度；高阶偏导数、中值定理和泰勒公式、极值问题.

第十一章  隐函数

隐函数、隐函数存在唯一性定理、隐函数求导举例；隐函数组概念、隐函数组定理、反函数组与坐标变换；平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线；Lagrange乘数法及条件极值的必要条件.

第十二章　反常积分与含参变量的积分

反常积分的引入，反常积分的概念，反常积分收敛和发散的概念，无穷积分的性质、绝对收敛和条件收敛的概念，反常积分的Cauchy收敛原理，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel判别法、Dirichlet判别法；瑕积分的性质、绝对收敛和条件收敛的概念，比较判别法；含参变量的正常积分的定义；含参变量的常义积分的分析性质－连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理及可积性定理；含参变量的正常积分的计算；含参变量的反常积分的一致收敛的定义及判别法：Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法；一致收敛积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理及可积性定理.含参变量的反常积分的计算；Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系

第十二章  重积分

二重积分的定义及存在性、二重积分的基本性质；矩形区域上化重积分为累次积分的计算方法；对于一般区域上重积分的计算；二重积分变量代换公式及应用；用极坐标计算二重积分；三重积分的概念、化三重积分为三次积分、三重积分换元法：柱面坐标变换、球坐标变换；曲面的面积、重心、转动惯量、引力.

第十三章　曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分的概念；第一型曲线积分的性质—线性性与路径可加性；第一型曲线积分的计算公式及其应用；第二型曲线积分的概念及性质—方向性、线性性与路径可加性；第二型曲线积分的计算公式；格林公式，曲线积分与路径无关的条件；第一型曲面积分的概念，计算；第二型曲面积分的概念及性质—方向性、线性性与曲面可加性；第二类曲面积分的计算及应用；Gauss公式及其意义；Stokes公式及其意义.